多目标优化方法在项目投资决策中的应用

中国国际经济咨询有限公司    博士后工作站    刘斐然

随着政府投资审批权限下放、民营企业自我诊断能力加强以及信息技术膨胀式发展，以往程序型、低价值、模仿性和依靠专有数据库垄断的咨询业务将迅速萎缩。先进方法论是咨询机构在“十四五”时期参与行业内高端竞争、打造重大咨询项目、形成代表性咨询服务的关键武器。公司设立时就高度重视咨询理论研究和成果质量，亦是最早引进项目投资可行性研究方法论的咨询机构。研发能力构建与核心产品打造是公司“十四五”时期内功修炼方面的重点工作。本文围绕项目投资决策中的多目标优化问题，基于实际案例介绍多目标优化方法在此类问题上的应用。

一、常见的多目标决策问题

在进行项目投资决策时可能需要考虑多个目标，并且这些目标之间可能具有冲突且相互影响。以政府与社会资本合作（PPP）项目为例，政府方希望节约成本，社会投资人希望追求收益最大化，用户希望收费更低。通常在此类项目中，还包括公共资源作为项目补充资源的使用最小化等子目标。一个子目标的改善可能会引起另一个子目标上效益的降低（或成本的升高），通常不存在唯一的使所有目标函数同时达到最优值的绝对最优方案（解），而是存在多个相互之间无法比较绝对优劣的帕累托解（Pareto solutions）。

以下示例来自于互联网公开内容[1]。例如有一个PPP项目中政府和社会资本方效益最大化（成本最小化）的多目标优化问题，包括两个目标函数（目标1和目标2），它们各自的决策结果空间如下图中上半部分所示。这两个目标的决策结果空间重叠部分如下图的左下角子图所示。其中，在红色点构成的区域上，要提升一个目标的效益，就要以牺牲另一个目标的效益为代价，因而无法绝对地比较这些方案的优劣。结果空间中的红色点在决策方案空间上的分布如下图的右下角子图所示，即帕累托前沿。

图片来源：知乎，原作者木木松

现实中，最终方案的决策权被交给出资人，参与咨询或项目规划的人员负责生成这些备选方案，其中主要任务是找到这些帕累托解。此种决策方法省去了政府方和社会投资人要事先确定目标优先次序或加权比重的工作，因而为待解决问题提供了充分的决策空间。和传统的数学规划法相比，智能优化算法更适合求解多目标优化问题，因其对Pareto最优前端（Pareto Front，简称PF）的形状和连续性不敏感，能很好地刻画分布不均匀和不规则的帕累托解。

二、投资案例及分析条件设定

以下案例均来自于财政部政府和社会资本合作中心（CPPPC）管理库，有关信息和数据均摘自各案例项目的可行性研究报告、PPP实施方案报告、物有所值评价报告以及财政承受能力论证报告。

1、白云区黑石头片区污水处理厂工程

白云区黑石头片区污水处理厂工程PPP 项目（以下简称“项目”或“此项目”），系指以PPP 模式实施白云区黑石头片区污水处理厂工程的投资、建设、运营、维护、更新和移交。此项目属于新建项目，拟建厂址位于北二环黑石头大桥西北侧。项目所属行业为市政工程（污水处理）。此项目由贵阳市白云区人民政府（以下简称“区政府）发起。区政府授权白云区住房和城乡建设局（以下简称“区住建局”）作为此项目实施机构，由其依法和PPP 项目合同约定履行实施机构职责。区政府授权白云城市建设投资有限公司（以下简称：“白云城投公司”）为政府方出资代表。

此项目提供的公共产品或服务为：本工程服务范围为黑石头片区，俊发城地块，服务面积168.92 公顷。

此项目实施内容为：以“建设-运营-移交（Build-Operate-Transfer，BOT）”方式实施此项目生活污水处理设施的特许经营市场化运作。即由项目实施机构采用公开竞争方式选择确定社会资本和政府授权出资代表在白云区共同设立项目公司，授予项目公司指定期限的特许经营权，在特许经营期内由项目公司自筹资金负责此项目所涉全部污水处理设施、设备的投资、建设、运营、维护和更新，向政府方（实施机构）提供污水处理服务，收取可用性服务费和运维绩效服务费。

此项目前置条件与主要经济参数如下：

1）项目建设期为1年，运营期最长不超过29年，项目全生命周期不超过30年；

2）项目总投资6776.22万元，资本金比例为20%，余下建设投资通过贷款方式筹措；贷款利率为中长期基准率4.9%上浮30%，为6.37%；

3）计算政府方支付成本所用折现率为5.5%；

4）可能的风险成本率为3%，建设期计算基数为资本金，运营期计算基数为年运维成本（万元），估计的运维成本如下表：

5）项目回报机制为政府付费方式，即不向终端用户收取费用，运营期使用者付费部分为零；

6）项目若采用PPP模式运行，其竞争中立调整值为624.26万元。

此项目原方案内容为：

1）政府方的资本金出资比例为10%，社会投资人为90%，项目公司股权比例以此划分；

2）对于社会投资人投入的建设成本和运营成本，按合理利润率6%给予回报；

3）运营期设为29年。

2、清镇市农村环境综合整治项目

清镇市农村环境综合整治PPP项目包括河道综合治理工程、污水处理工程、垃圾收运系统工程三类项目，共20个子项（包括4个河道综合治理工程、7个污水处理工程和9个垃圾转运站工程）。清镇市水务管理局受清镇市人民政府授权担任此项目实施机构，负责：项目识别、项目准备、项目采购，与中标社会资本及后续成立的项目公司签署PPP 项目合同，并牵头市财政局、发改局等相关部门对项目公司进行监管和考核，合作期满项目移交等工作。

河道综合治理工程类项目包含民联河、中山沟、毛家寨沟、右七河综合治理4个子项，治理总长度为6184m。其中民联河治理长度1353m，中山沟治理长度1900m，毛家寨沟治理长度2181m，右七河治理长度750m。

污水处理工程类项目包括乡镇污水处理工程（暗流镇污水处理工程、犁倭镇污水处理工程、流长乡污水处理工程、王庄乡污水处理工程、王庄新城污水处理站、麦格乡污水处理工程）及蔡水村一、二组污水治理工程，共计 7 个污水处理工程子项。

垃圾收运系统主要包括源头垃圾收集点、垃圾收集车、垃圾转运站及配套设施、垃圾运输车、保洁清扫车辆设施。根据经批复的可研报告，垃圾收运系统工程含9个新建转运站子项，设计规模为900吨天。

清镇市农村综合环境整治属于系统性工程，其中河道治理、污水处理及垃圾收运属于较为明显的基础设施短板，这三类基础设施的缺失给居民的生活带来较大的不便。此项目三类项目的服务范围在空间上存在重叠，且存在功能互相促进的内在联系：河道治理和垃圾的有序收集及清运能有效减少进厂污水的含沙量及大颗粒悬浮物，起到预处理的效果，提高污水处理厂的运行效率。同时污水经处理后排放也能进一步改善和保持河道的水质。因而，此项目的项目内容存在内在联系。下图为此项目交易结构图。

此项目前置条件与主要经济参数如下：

1）项目建设期为2年，运营期最长不超过28年，项目全生命周期不超过30年；

2）项目总投资25355.53万元，资本金比例为20%，余下建设投资通过贷款方式筹措；贷款利率为6.86%；

3）计算政府方支付成本所用折现率为7.5%；

4）可能的风险成本率约为3%（为转移风险与自留风险成本之和），为保持计算口径一致，假设此项目风险成本计算基础与前一项目相同，所估计的运维成本（万元）见下表：

5）项目运营期向终端用户收取少量服务费用，具体使用者付费情况见下表:

6）项目若采用PPP模式运行，其竞争中立调整值为2324.27万元。

此项目原方案内容为：

1）政府方的资本金出资比例为5%，社会投资人为95%，项目公司股权比例以此划分；

2）对于社会投资人投入的建设成本和运营成本，按合理利润率7.5%给予回报；

3）运营期设为18年。

3、乌当区教育设施、设备及后勤服务外包项目

贵阳市乌当区教育设施、设备及后勤服务外包PPP项目由贵阳市乌当区人民政府发起，贵阳市乌当区教育局为本项目实施机构。贵阳市乌当区人民政府授权区属国有企业贵阳泉城五韵旅游文化投资开发有限公司为政府方出资代表。

此项目所涉三个工程子项目的建设地点为：贵州省贵阳市乌当区水田镇、下坝镇和振新社区。乌当区下坝镇九年制学校建设项目总建筑面积36824.2㎡，土地属国有土地划拨；乌当区水田中学建设项目总占地面积66667.19㎡，总建筑面积58858.18㎡土地拟以划拨方式取得乌当区振新幼儿园建设项目总占地面积6630.72㎡，规划新建总建筑面积3364.68㎡，土地拟以划拨方式取得。此项目的教育设施建设项目内容包括：乌当区下坝镇九年制学校建设项目、乌当区水田中学建设项目、乌当区振新幼儿园建设项目、教学仪器、设备等器材、后勤服务。

下图为此项目的交易结构。

此项目前置条件与主要经济参数如下：

1）项目建设期为1年，运营期最长不超过29年，项目全生命周期不超过30年；

2）项目总投资32546.56万元，资本金比例为20%，余下建设投资通过贷款方式筹措；贷款利率为6.86%；

3）计算政府方支付成本所用折现率为7.5%；

4）可能的风险成本率约为5%，为保持计算口径一致，假设此项目风险成本计算基础与前一项目相同，即以建设期和运营期资金投入为基础计算风险成本，项目所估计的运维年成本为2139.42万元。

5）项目运营期向终端用户收取少量服务费用，具体使用者付费情况见下表:

6）项目若采用PPP模式运行，其竞争中立调整值为1504.6万元。

此项目原方案内容为：

1）政府方的资本金出资比例为15%，社会投资人为85%，项目公司股权比例以此划分；

2）对于社会投资人投入的建设成本和运营成本，按合理利润率9.5%给予回报；

3）运营期设为12年。

4、多目标优化分析条件设定

决策变量。根据各项目的PPP实施方案报告，将股权比例（资本金投入比例）、建设及运营成本资金回报率（合理回报率）、社会投资人收益率以及运营期年数作为模型的决策变量。这些变量的取值将决定一个投资方案的最终结果。

风险估计。案例项目风险波动情况通过几何布朗运动模拟，成本波动率通过2011-2020年工业生产者采购价格指数确定。单次优化中，决策方案的模拟数量设为200个，迭代次数为50代。

风险偏好假设。为更加符合政策要求以及贴合实际经验，在各案例贷款利率不变的前提下，假设还贷期与运营期保持一致，各项目运营期不低于10年。同时，设定社会投资人的风险偏好为时间风险厌恶型，即更倾向于较快回本而不是一味地追求回报总额。

模型实现及有效性说明。优化结果根据建立的多目标优化模型得出，具体代码于软件Matlab2020b中实现。需要说明的是，因案例项目均已经落地，优化模型通过原方案数据测算出的结果不作为项目实施方案的参考，仅用于对照模型的优化效果。

特别地，关于社会投资人回报率。社会投资人最终的回报率由采购结果确定，因而在前期决策中，这一信息相对于决策者是不可完全掌握的。现实中，通常社会投资人可接受的收益率不会超过10%，因而将社会投资人收益率设为一个取值在0~10%范围内的决策变量，用于计算其收益现值。

三、案例优化结果的统计描述

（1）白云区黑石头片区污水处理厂工程PPP项目

下图为200个生成的决策方案在四个决策变量取值范围上的分布图。其中，政府方股权比重在10%（0.1）以下的方案约140个左右，其余约60个方案在这一变量的取值上介于10%~49%之间。合理回报率在1%以下的方案约有120个，数目第二多的区间为4%~5%。在社会投资人折现率变量上，几乎全部200个方案的取值都极为接近零，说明这些优化方案给出的是社会投资人盈亏平衡状态下的结果。在运营年数上，近150个方案的运营年数都为10，剩余四分之一的方案年数都在11~15年之间，说明优化结果相对于原方案大大地缩短了运营周期，使得政府方总体支付水平明显下降。

（2）清镇市农村环境综合整治PPP项目

下图为清镇市农村环境综合整治PPP项目200个生成的决策方案在四个决策变量取值范围上的分布图。政府方股权比重在0~30%的区间上的方案数约占总数（200个）的五分之二，剩余五分之三集中于30%~49%的区间上。在合理回报率方面，约有190个方案集中于0~0.1%的区间上。在社会投资人收益率（折现率）方面，与上一案例情况类似地，几乎全部200个优化方案的取值都处于0.01%（0.0001）的区间上。运营年数上，绝大多数优化方案分布于10~13年的区间上。综合以上结果来看，项目运营期成本占政府方支付总成本比重较大，因而优化方案通过提升政府方资本金投入比重、压缩回报率以及降低运营年数来使得政府方支付水平降低，同时确保社会投资人能够收回成本。

（3）乌当区教育设施、设备及后勤服务外包PPP项目

下图为乌当区教育设施、设备及后勤服务外包PPP项目200个生成的决策方案在四个决策变量取值范围上的分布图。图中显示，在股权比重方面，全部200个优化方案均集中于40%以下的区间，其中约超过160个方案集中于10%以下的区间。在合理回报率上，约半数优化方案集中0~0.1%的区间上，剩余方案在0.2~0.8%区间上分布较为均匀，最大不超过1.4%。和上述两案例类似地，社会投资人折现率（收益率）均被控制在0.01%水平以下。从运营年数来看，全部优化方案较为均匀地分布于10，11和12年三个水平上。

综合上述结果来看，优化方案给出的结果均为社会投资人“保本”策略（收益率接近于零），能够为政府方决策者提供“拧干”后的项目投资数据。因而，为客观地反映优化效果，在以项目原方案数据进行比较时，将社会投资人财务基准收益率统一设置为一个非常小的值，例如0.0001，用作社会投资人计算其效益现值的折现率。当其现值大于零，意味着社会投资人参与该项目能够收回成本，不至亏损。

四、最优投资边界与原方案比较

（1）白云区黑石头片区污水处理厂工程PPP项目

该项目的帕累托前沿如下图所示。其中，优化方案在政府方成本现值上的范围约为9400万元~1.06亿元，在社会投资人收益现值上的范围约为500万元~1500万元。若采用原方案数据计算，政府方支出的现值总成本在1.3亿元~1.35亿元之间，社会投资人最总效益大于5000万。项目的PPP实施方案报告中，白云区财政29年的支付总成本现值上限22538.22 万元，其原因在于提高了政府方对于社会投资人资本金投入的回报，设定了贷款期为10年，对政府支付成本进行了较为保守的估计。

从图中可看出，优化决策方案的最优边界在其范围内是凸向左上角坐标原点的，表示最理想的情况是政府以尽可能小的成本投入实现了社会投资人尽可能大的收益。经原方案数据测算得出的结果显示，政府方通过付出相对较多的成本，使得社会投资人收益水平更靠近其预期水平，可能产生更强的引资效果。

（2）清镇市农村环境综合整治PPP项目

该项目的帕累托前沿如下图所示。其中，优化方案在政府方成本现值上的范围约为5.5亿元~6.3亿元，在社会投资人收益现值上的范围约为1.5亿元~2.5亿元。若采用原方案数据计算，政府方支出的现值总成本约为7.5亿元，社会投资人最总效益约为4.5亿元。

从图中可看出，优化决策方案的最优边界在其范围内分段斜切于左上角原点坐标系二维平面，表示政府方在不同的支付水平上，较高的支付水平可以实现社会投资人较高的回报，然而超出6.3亿元现值的界限时，项目可能无法满足“物有所值”定量评估的标准（VFM值大于零），这将意味着项目采用PPP模式是不经济的。与上一案例情况类似地，此项目原方案数据的测算结果表明，存在政府放大投入使得社会投资人获取高额回报的可能。

（3）乌当区教育设施、设备及后勤服务外包PPP项目

该项目的帕累托前沿如下图所示。其中，优化方案在政府方成本现值上的范围分段较为明显，集中于5.5亿元~5.6亿元，5.7亿元~5.75亿元，5.85亿元~5.9亿元的区间上。这种现象产生的可能原因是项目原始数据中存在较明显的阶梯状趋势。优化方案在社会投资人收益现值上的范围约为5000万元~7000万元。若采用原方案数据计算，政府方支出的现值总成本约为6.15亿元，社会投资人最总效益约为1亿元。

从图中可看出，优化决策方案的最优边界在其范围内分段斜切于左上角原点坐标系二维平面，且斜率较高，表示在一定区间上社会投资人的收益相对于政府的投入具有较高的弹性，政府可适当增加投入以增强项目对社会投资人吸引力。与上两个案例情况类似地，此项目原方案数据的测算结果表明，政府方放大了投入，可能致使社会投资人获取超额回报。

五、优化方案比选分析

从200个生成的优化方案中，选择政府方最小资本金投入比例（股权）、最小合理回报率（利润率）方案，政府方最小总成本方案以及社会投资人最大效益方案进行比选分析。

（1）白云区黑石头片区污水处理厂工程PPP项目

以下三幅图分别显示了白云区黑石头片区污水处理厂工程PPP项目中政府方、社会投资人和风险成本资金流的变化情况。其中最大社会投资人效益方案的运营期最长（16年），其他三种优化方案运营期较短（11年）。

整体上看，该项目风险成本资金流在各方案间区别较小。对社会投资人而言，最小合理回报率（利润率）方案与最大社会投资人效益方案在运营期的资金流水平相近，最小政府方资本金投入方案在运营期的资金流入水平较高，有助于社会投资人加快回收成本。对于政府方而言，最大社会投资人效益方案在运营期的支付水平最低，同时比最小政府总成本方案在建设期的投入要少。

（2）清镇市农村环境综合整治PPP项目

以下三幅图分别显示了清镇市农村环境综合整治PPP项目中政府方、社会投资人和风险成本资金流的变化情况。其中最大社会投资人效益方案的运营期最长（14年），其他三种优化方案运营期较短（10年）。此四种方案在运营期风险成本上差异较大。由于风险成本是通过随机游走过程进行模拟，因而不适宜单独作为方案取舍的标准。整体上，该项目对于社会投资人而言，最小利润率方案与最大社会投资人效益方案对其资金流影响基本一致，区别仅在于运营年限的长短。对于政府方而言，最小利润率方案与最小政府方总成本方案对其资金流影响基本相同。

（3）乌当区教育设施、设备及后勤服务外包PPP项目

以上三幅图分别显示了乌当区教育设施、设备及后勤服务外包PPP项目中政府方、社会投资人和风险成本资金流的变化情况。其中最小政府方总成本方案运营期为10年，其他三种方案运营期为12年。整体上来看，除最小政府方总成本方案外，其他三种方案对政府方以及社会投资人双方资金流水平所产生的影响趋于一致。

六、总结

多目标优化方法对包含一个以上优化目标的决策问题能够在不事先进行目标排序和赋权的情况下，给出最优投资边界用以判断项目是否经济可行，并能够直观反映经济可行的程度。本文以三个西南地区城镇的小型基建投资项目为例，说明了多目标优化方法在设计项目投资方案中的应用，给出了最优投资边界与原决策方案的对比，并进一步对于优化方案进行了比选分析。

从结果来看，经济欠发达地区的中小城镇向社会投资人融资时，往往提供了“过于好”的回报条件，以吸引社会资本落地。签约后若按计划实行，则可能导致政府过度投资行为；若不按计划实行或进行较大幅度的调整，则可能产生政府支付承诺不兑现的风险。然而，在考虑使用者付费能力增长和土地增值的情况下，社会投资人收益最大化方案并不总是等同于政府成本最高方案，可借助多目标优化模型批量生成备选方案后再进一步筛选方案，提升决策精细化程度，实现高质量决策。